The foundations of Frege´s logic

Atlas nesprávnych máp FFL

Osmy pokus o spracovanie FFL 31.07.17

Problémy s intuíciami Tichého logiky ukážem poznámkami ku Raclavského článku.

  1. Nerozumiem formulácii, že konštrukcie=logické analýzy, sú mimojazykové štruktúrované procedúry (a) metajazykové? b) protojazykové? c) reálne platonické objekty?, d) objektuálny náprotivok lambda termu? e) explikans významov? f) hyperinenzionálna individuácia? f) or?).
  2. Nerozumiem tomu, že výraz, ktorý vyplýva z významu, čiže z konštrukcie,  vyjadruje význam, ale nevie ho vysvetliť a konštrukcia vysvetľuje význam, ale nevie ho vyjadriť…
  3. Nerozumiem formulácii, že keď vieme, čo výrazy/vety znamenajú (ktoré konštrukcie), potom sme schopní určiť, čo z čoho vyplýva.
  4. Nerozumiem tomu, prečo je potrebné pohybovať sa na objektuálnej úrovni, keď ju nevieme vysvetliť.
  5. Podľa mňa by vysvetľovanie v hrubých rysoch malo ukázať základné princípy/intuície. Ono však znie takto: Shody lze pojímat jako jistá
    tvrzení identity − určitá shoda klade identitu mezi nějaký objekt O a výsledek konstruování jisté konstrukce C, tj. onen objekt O…

Siedmy pokus o spracovanie FFL 21.01.17

(je historickým úvodom do tutoriálu meta-základov funkcionálneho JavaScript jazyka a súčasne ilustrácia “príručky” pre učiteľa výučby predmetu Dejepis na 2. stupni ZŠ (Dejepis ako história/filozofia vedy, matematiky, informatiky, robotiky, fyziky, chémie a ostatných 11 predmetov)

a. Zmysel/Mode of presentation ako algoritmus – úvod ku Tichému

Otázka1: Prečo si nevystačíme s prirodzeným jazykom?
Lebo je mnohoznačný. Skús trafiť domov, keď slovo ‘domov’ nie je jednoznačné.

The expression “1+4” is a kind of miniature computing program. Exactly what program depends on how we were taught to add, but let us standardize on: x+y instructs us to start at the number x and count off the next y numbers. Then obviously, “1+4” and “2+3” correspond to different programs with the same output. We might identify the program with the sense, and the output with the denotation…

Identifying the intension of a mathematical term with its computational content is a plausible thing to do. It does, however, clash with what came earlier in this article. Expressions like “the King of France” get treated one way, expressions like “1+4” another. For any given expression, how do we decide which way to treat it? It is possible to unify all this. Here is one somewhat simple-minded way. If we think of the sense of “1+4” as a small program, there are certainly states, possible worlds, in which we have not executed the program, and others in which we have. We might, then, think of the intension of “1+4” as a partial function on states, whose domain is the set of states in which the instructions inherent in “1+4” have been executed, and mapping those states to 5…

Following Frege, the mathematical expressions “1+4” and “2+3” have the same denotation but different senses. Frege did not actually say what a sense was, though it was clear that, somehow, sense determined denotation. Earlier we talked of computations associated with “1+4” and “2+3”, but what we presented was quite simple-minded. Tichý introduced the idea of a construction with these two expressions prescribing different constructions. A much more formal version of this appears in a series of papers, (Moschovakis 1994; Moschovakis 2006; Kalyvianaki and Moschovakis 2008), all of which trace back to (Moschovakis 1989). In these is a very sophisticated formalism in which the sense or intension of an expression is an algorithm, and algorithm execution determines denotation.

in https://plato.stanford.edu/entries/logic-intensional/

RESUME

postup                   = výsledok                                                                                           sčítanie AJ súčet = súčet

Aj postup aj výsledok sú nositeľmi súčtu.  Obidva sú aj dvojjediné. Každý však špecifickým spôsobom. Postup je sčítanie aj súčet.  Výsledok je súčet aj koherencia so súčasnou kognitívnou schémou (paradigma). Avšak je zrejmé, že súčet je funkciou postupu, ale sčítanie nie je funkciou výsledku. Čiže význam nutne musí byť v sčítaní a nie v súčte (denotáte). Príklad: Akonáhle nájdeme diferenciálny postup (integrály), nahradíme tento sumačný a význam sa zmení… Podobne aj referencia je funkciou postupu. Čiže význam je postup a nie denotát, ani referencia.

other sources: Departing from Frege, Philosophy of Language, Character and object,  Meaning and grammar, Computational Complexity: a modern approach, Early embodied algebraic thinking, Semantics without truth values, Introducing semantics

b. Netypovaný (pôvodný Churchov-1930) Λ-kalkul

Otázka2: Prečo Tichý založil TIL na Churchovom λ kalkule? /výučbová otázka: nadväzujúca na otázku1 vyššie: ako garantujeme jednoznačnosť slova ‘domov’ aby sme trafili?
Lebo je to najmenší a najprirodzenejší (Turingov stroj neobsahuje abstrakciu) univerzálny programovací jazyk. Čiže v ňom vieme vyjadriť (express) a dosadiť doňho na výpočet (evaluate) každú výpočtovú funkciu (Turing complete) – in λ1λ2λ3λ4λ5λ6, λ7, λ8.

Otázka3: Prečo pre TIL nestačila pôvodná verzia λ kalkulu?
Nemá zabudovanú podporu pre viac argumentové funkcie a ich následnú transformáciu do funkcií vyšších rádov. To spravil Churchov súčasník, Haskell Curry, podľa ktorého sa aj volá ‘currying‘ (a je po ňom pomenovaný aj TIL konkurenčný programovací jazyk, Haskell).

…to be continued…

Šiesty pokus o spracovanie FFL 04.01.17

ZÁKLADNÉ HI-LEVEL TIL INTUÍCIE

Int1: VÝZNAM JE FUNKCIA, RESP. KONŠTRUKCIA

Fregeho sémantický stroj v ktorom denotát označuje referenta a súčasne vyjadruje jeho prezentáciu (zmysel) znamená metafyzický dualizmus. Čiže ak význam položíme do referenta ako Frege, napr. význam=referent Venuša výrazov Zornica, alebo Večernica, nastáva spor s definíciou funkcie (vzor ‘Venuša’ z D(f), má 2 obrazy ‘Zornica’ a ‘Večernica’ v H(f).  Čiže význam=referent nie je funkciou.

venus

Opačne už to funkcia síce je, ale potrebujeme garantované pravidlo, že to funkcia bude vždy.

venus2

Práve preto Tichý rozširuje Fregeho sémantický stroj o rolu/konštrukciu

venus3

Int2: Ako rola/konštrukcia funguje? V 1. kroku do môjho myslenia vchádzajú izolované vnemy (vrátane viet prirodzeného jazyka), ktoré nie sú vopred známe (báza empirických intenzií a extenzií, referentov). Myslenie ich v reálnom čase spracováva ako funkčné závislosti, čo mu dáva garanciu korešpondencie s realitou a následne ich post-procesovo zovšeobecňuje a deduplikuje (báza objektov a ich typov, denotátov). Nakoniec nad nimi robí ďalšiu postprocesovú analýzu, pri ktorej tvorí postupové inferencie (báza významov, konštrukcií), ktoré spätnoväzobne inferujú do bázy intenzií a objektov). Tak vzniká koherentná ontológia – a podľa mňa nie izolovaná konštrukcia, ale až ontológia, čiže otvorená rekurentná koherentná množina konštrukcií je význam. Podobne o tom hovorí Feynman: riešením akéhokoľvek neriešiteľného problému je abstrakcia, zovšeobecnenie. Jej prvým pravidlom je začať od stredu. To nám umožňuje vytvoriť si vzťahy. Potom už iba zväčujeme rozsah objektov, pre ktoré predpokládame, že platia.  Tak sa mení význam ich symbolov, ktorým prichádzame ku kritickému bodu, za ktorým uskutočňujeme ďalší skok do stredu. Tak sme prišli napr. na to, že priestor, ani rovný priestor neexistujú. Existuje iba krivý časopriestor. Lebo v ňom platia inovované ‘Euklidove’ pravidlá: že zakrivený priestor je priestor, v ktorom súčet uhlov trojuholníka nie je 180 stupňov, obvod kružnice delený číslom 2 π nie je rovný polomeru, návod na nakreslenie štvorca nevedie k uzavretému obrazcu.

3 HI-LEVEL INTUÍCIE O TICHÉHO TIL

(in http://is.muni.cz/th/139867/fi_b/bc.pdf. s. 6)

dolphin

Je teda úplne logické, že TIL je intenzionálna a súčasne funkcionálna logika. Preto sa pre ňu najviac hodí klasický funkcionalistický engine, λ-kalkul.

TIL je Lambda-kalkul

lambda

Tint1: TIL NIE JE FORMÁLNY JAZYK, PRACUJE TRANSPARENTNE PRIAMO S VÝRAZMI PRIRODZENÉHO JAZYKA

TIL okrem toho, že je intenzionálnou a funkcionálnou, je aj transparentnou logikou. Znamená to, že pracuje priamo s výrazmi prirodzeného jazyka. Pre hi-level predstavu nám stačí, že sa TIL skladá z 2 častí:  1.1 Kresliacej 1.2 Analytickej. 1.1 Do kresliacej  vstupuje prirodzený jazyk, z ktorého TIL priamo kreslí funkcie (výrazy), čiže TIL ho neprekladá do formálneho jazyka (in http://www.fi.muni.cz/~hales/disert/thesis.pdf, kap. 4)  1.2 Analytická časť vyhľadáva ich príslušné abstraktné významy (konštrukcie) a dáva ich na výstup. 

Schéma Duží (in http://www.cs.vsb.cz/duzi/aleph.pdf) je podobná mojej vyššie

modiffregetriangle

TILovský trojuholník (in http://is.muni.cz/th/139867/fi_b/bc.pdf, s. 5)

tiltriangle

Tint4: Denotát-význam, pokiaľ je určený konštrukciou) by mal byť známy a priori, nezávisle na stave sveta… (in http://is.muni.cz/th/73066/fi_m/diplomova_prace.pdf, s . 42)

Tint5: Empirický výraz v TIL vždy označuje intenziu a extenziu, v ktorej sa nenachádza význam. Význam, konštrukcia je akontextuálna. Čiže výraz “Prezidentom Českej republiky je Václav Klaus” – hovorí sa o Klausovi, nie je to kontext, ale supozícia de re a  “Karel si myslí, že prezidentom Českej republiky je Václav Klaus” – hovorí sa o funkcii prezidenta, nie je to kontext, ale supozícia de dicto.

2 TIL APLIKÁCIE

app1:Knowledge Base of the TIL Inference Machine (in http://www.fi.muni.cz/~hales/disert/thesis.pdf, kap. 6.1, str. 122-127),((in http://is.muni.cz/th/73066/fi_m/diplomova_prace.pdf, s. 68))

cat

CAT – Communication and Artificial Reasoning with TIM, TIM – TIL Inference machine, NTA – normal translation algorithm, NLE – natural language expressions

app2:Systém Dolphin

V PREDIKATOVEJ LOGIKE (PL) –  PROLOG

Jazyk Prolog je ukážkou limitácií PL. V ňom môžeme jednoduchým spôsobom vytvorit’ KB: cerveny(dom). cerveny(strom). Ak teraz položíme otázku: ” je dom červený?“ v tvare ?-cerveny(dom). inferenčný mechanizmus Prologu odpovie Yes. Ak však zadáme otázku ?-cerveny(jablko). odpoved’ bude No. Tento záver nie je správny, pretože systém nevie, či jablko je alebo nie je červené. Správnou odpoved’ou je v tomto prípade I dont know, tak však Prolog nereaguje. Problém spočíva v predpoklade uzavretého sveta, ktorý ľubovol’ný fakt v systéme neuložený ako pravdivý, označí za nepravdivý.

V TIL

TIL je na rozdiel od Prologu otvorený. Zabezpečuje to rozlišovanie oznamovacej vety a otázky, ktoré vytvoria 2 odlišné konštrukcie, závislé na znalostiach opýtaného…čiže odpovie I dont know, keď fakt ešte nepozná a No iba ak by disponovala poznatkom, že objekt otázky určite nie je pravdivý.

ARCHITEKTURA DOLPHIN

dolphin2

Hlava je jadrom celého systému. Interaguje s užívatel’om, analyzuje vstup, komunikuje s jednotlivými vrstvami a zabezpečuje esenciálnu inferenciu. Podl’a posledného symbolu vstupného match, volí mód databázy. Implementačne je práve Hlava miestom realizácie módov.

Ostatné zdroje:

The mechanical evaluation of expressions

###

Piaty pokus o spracovanie FFL 02.11.16 (zjednoznačnenie pojmov)

//FFL1-162

Výraz (Intenzia) Význam (Výsledok/Extenzia výrazu) Pravdivostná hodnota (Extenzia významu) Referencia, mapovaná pravdivostnou hodnotou (empirický objekt)
3+2 5 T žlté kvety
2+3 5 T biele kvety
1+4 5 T žlté kvety
4+1 5 T biele kvety
0+5 5 T žlté kvety
5+0 5 T biele kvety
4+2 5 F žlté kvety
2+4 5 F biele kvety
3+3 5 F žlté kvety
3+3 5 F biele kvety

###

Štvrtý pokus o spracovanie FFL 31.10.16 (základné intuície)

INTRO

Extenzie sú príliš ďaleko od empírie. Ich pevnosť teda nie je cieľom, ale podmienkou (a metodológiou zachovávania štruktúry (princíp kompozicionality)) autonómnej inteligencie, ktorá sa k empírii blíži modálnymi intenziami (napr. epistemickými presvedčeniami – ‘myslím si’, ‘som presvedčený’, atď.).

JEDNOZNAČNOSŤ (OD-DO)

Ak má mať naše filozofovanie zmysel, potrebujeme ho mať v rukách. Potrebujeme, aby inteligencia našich intenzií bola logicky testovateľná. Čiže ju potrebujeme prekladať/funkčne mapovať do pravdivostných hodnôt. Sú iba 2 (pravda/nepravda). Vytvorme si intuíciu toho prekladu:
Výraz=význam=pravdivostná hodnota.
4+5=9=pravda
4+7=9=nepravda
hlavnémestoSR=bratislava=pravda
hlavnémestoSR=trnava=nepravda
Na číselných=neempirických výrazoch vidíme, že náš zápis je súčasne

a. postup/denotácia/rola (4+5)
b. výsledok/význam/pravdivostné spĺňanie role (pravdivosť-nepravdivosť izomorfizmu postupu (4+5) a významu (9)                                                                   c. referencia (9)

(Church vlastnosť a-b nazval ‘aplikácia‘ a Tall/Hejný ‘procept‘).

Na nečíselných=empirických  výrazoch je to podobné s tým rozdielom, že referencia je empirická entita.

a. denotácia/rola (hlavnémestoSR)
b. význam (pravdivostné spĺňanie izomorfizmu role (hlavnémestoSR) a hodnoty referencie (bratislava, trnava)
c. referencia (bratislava, trnava).

Zhrnutie: denotát, význam aj pravdivostná hodnota sú priame izomorfizmy výrazu. A pravdivostná hodnota je súčasne nepriamy preklad/mapovanie jeho referencie.

Čo je pre konštruovanie významu dôležitejšie, izomorfizmus, alebo referencia?

2. Tekutosť mnohoznačnosti (bez od-do)

Frege videl, že jednoznačnosť abstraktnej, rozumovej entity, ktorú vieme vopred (rebrík… ), sa prechodom od výrazu ku výsledku objektívne stráca v referencii, konkrétnej, empirickej entite, ktorú vopred nevieme (… po vylezení na strom rebrík zmizne). Videl, že medzi nimi nie je žiadna štrukturálna príbuznosť, čiže ‘9’ neobsahuje ani ‘4’, ani ‘5’, ‘trnava’, ani ‘bratislava’ neobsahuje ‘hlavné mesto’ (Pekný a nedávny príklad toho, že referencia KonkrétneMesto nie je izomorfická s denotátom HlavnéMesto sa stal koncom 20. storočia v Nemecku, v ktorom bol po 2. svetovej vojne hlavným mestom Bonn až do roku 1989, keď sa zlúčilo NSR a NDR a hlavným mestom sa stal Berlín).  Jediná možnosť ako referenciu pravdivo teoretizovať vo význame bolo vzdať sa štruktúry.  Čo spravíte, keď vyleziete po rebríku na strom a potom ten rebrík zrazu zmizne?

3. Potvrdenie jednoznačnosti (zhrňujúca diskusia)

Nalejte do plastového pohára (extenzia) vodu (prirodzený jazyk). Skúste pozorovať jej štruktúru. Potom ho dajte do mrazničky (prekladač). Po zmrznutí pozorujte jej štruktúru.  Čo ste zistili?

Tichý, aby zachoval jednoznačnosť ako predpoklad štruktúry, do teoretizácie významu zaradil priamo a-b a c iba ako nepriame mapovanie.

Zhrnutie: získali sme základnú intuíciu axiómy filozofovania: štruktúra je funkciou jednoznačnosti.

4. Prototyp prekladača jednoznačnosti (mrazničky)

V tekutej mnohoznačnosti prirodzeného jazyka mizne štruktúra. Ak ju chceme, potrebujeme skonštruovať prekladač (mrazničku), ktorý detaily jeho tekutosti dostatočne jemne a súčasne striktne prekladá do pevného formálneho jazyka (rigid determiner).

# # # to be continued

###

# Tretí pokus o spracovanie FFL 27.07.16

Analýza Tichého Foundations of Fregean logic

Obrat k jazyku – východisko Tichého argumentácie

Jednou vetou = štruktúrované matematické výrazy sa nahrádzajú neštruktúrovanými epistemologickými pojmamy zdanlivo vyššej abstrakčnej úrovne, pričom matematike sa nadradzuje saussurovský lingvistický štrukturalizmus, ktorým sa dá matematika redukovať do logiky. Týmto neštruktúrovanosť (zmysel (sense) ako prezentačný prístup (mode of presentation) inferuje do všetkých jej pojmov.

Rozdiel medzi matematickým a epistemologickým (obrat ku jazyku) prístupom

Embodimentová (senzomotorická) vrstva matematiky je položená na izomorfizme medzi vnímaním a konceptualizáciou (aritmetika). Jej abstrakčným zdvihom je symbolická vrstva (algebra). Treťou samostatnou vrstvou je axiomatická vrstva, ktorá sa pozerá z opačnej strany, zo sveta abstraktných objektov, (napr. 1. množín, alebo 2. konštrukcií), ktoré držia spolu svojou dôkazovou koherenciou (teda nie izomorfizmom vnímania a konceptualizácie). Zhrnutie: Matematické abstraktné objekty sú teda koherenčné dôkazové výťažky izomorfického korešpondenčného prístupu. Toto treba odlíšiť od ‘obratu ku jazyku‘, ktorý epistemologizuje izomorfickú časť (vrstva embodimentu a symbolizmu) s následnou redukciou axiomatickej vrstvy do logiky.

70) Logika a metamatematika 20. storočia zavrhla konštrukcie a nahradila ich mapovaním argumentov. Ale iba pomocou konštrukcií sa dá vytvárať zlúčenina operácie mapovania a hodnoty jej argumentu. Mapovaním vzniká zlúčenina, ale zanikajú jej pôvodné zložky. Na základe toho, sa v modernej matematike obmedzila hierarchia entít iba na prvorádové typy. Ukážme na príkladoch, k čomu to vedie:

Príklad1

8) ‘3/0 je nedefinované‘, alebo ‘pre práve jednu hodnotu n, 3/n je nedefinované’. Je to pravdivá matematická skutočnosť ako akákoľvek iná a teoretikovi, ktorý používa konštrukcie, nerobí žiadne problémy. Moderný sémantik/logik/epistemológ to však potrebuje preložiť/preformulovať do jazykovej skutočnosti, čo sa nedá. A tak on sám tie problémy vyrába. Jednoduchý, priamy, kvantifikovateľný izomorfizmus medzi výrazom a významom sa stráca v komplikovanosti nekonečného regresu metajazykov.

Príklad2

70) (Mathematician) establishes equations and then substituting equals for equals to get further equations. For example, he establishes the equation 1+2=2+1 and then goes on to substitute 2+1 for 1+2 in 1+2=3 to get the further equation 2+1=3. What are the entities, 1+2 and 2+1, which are first equated to one another and then substituted for one another? It seems natural to say, that they … are congruent, i.e. constructing one and the same number. Hence where they occur as parts of larger constructions, they are often interchangeable: if one is substituted for the other, the resulting construction will be congruent, or ‘equal’ to the original one.

71) But in the ontology of the modern mathematician there are no two entities that could be said to be equated to each other in 1+2=2+1 and substituted for each other in 1+2=3 and 2+1=3. To make sense of equations and substitutions he has no choice but to step outside his own discipline … must, on his account, be a purely linguistic exercise, to which nothing corresponds in the realm of arithmetical entities…We thus see, that the whole linguistic outlook of modern logic and metamathematics, the preoccupation with symbols and strings of symbols as objects of study, results from the parsimonious decision to dispense with all entities other than first-order ones.

Základné pojmy obratu k jazyku

Legenda: strana), Fregeho základný pojem – FZP, Tichého základný pojem – TZP

→FZP1: Fregeho zmysel, výsledok ako referencia výrazu

97) Frege´s notion of sense, however, is plagued by what we have already identified as a systematic flaw in theorizing: a failure to keep entities (objects) apart from ways of constructing them

Fregeho flaw je View B (obrat k jazyku = zmysel výrazu je jeho výsledok=referencia výrazu, celkom tak, ako pri intenziách/výrazoch Zornica/Večernica a ich referencii/výsledku Venuša). Vo Venuši nie je obsiahnutá Zornica, ani Večernica. Ak teda vynecháme intenziu/výraz, nenávratne strácame význam. Preto platí View A (matematická tradícia – Bernouli, Euler, ktorý správne pripisuje významotvornú zložku výrazu/intenzii) ( viď 16 nižsie)

Takže môžeme skočiť do základnej intuície 1)

There is no sense in which Los Angeles, St. Louis, or Chicago are parts, or constituents, of New York (view B). Each of the three cities, on the other hand, is an inalienable constituent of the circuitous itinerary in question, and removal of any of them produces a different itinerary (view A).

Čiže 97) flaw sa netýka zjednotenia notácie a významu (view A je ok), ale zjednotenia výrazu a výsledku. Zopakujme si to príkladom z 1) výraz ‘Los Angeles+St. Louis+Chicago’ nie je redundantným menom ich destinácie/referencie/zmyslu ‘New York’. Objekt ‘New York’ ich neobsahuje a preto ho (výraz) nemožno vynechať (view B).

16) the conflation of notation and significance in mathematics went unchallenged until well into the second half of the nineteenth century… (view A)

Frege was the first to break with the long tradition which treated notation and singificance as one indissoluble whole

→→TZP1: výsledok nie je zmyslom výrazu. Výraz je postup štrukturálne izomorfný s významom.

→FZP2: Fregeho funkcia, ako funkčná závislosť/zobrazenie (mapping)

If, in an expression…, a…symbol occurs in one or more places and we imagine it as … replaceable by another at all or some of these places, then we call the part of the expression that shows itself invariant a Function and the replaceable part its argument.

Čiže 30) nakoniec vo Fregeho explicitnej epistemológii (view B) bola Funkcia neštruktúrovanou funkčnou závislosťou/zobrazením (mapping) medzi argumentami a ich hodnotami.

→→TZP2: funkcia nie je funkčná závislosť/zobrazenie premennej vo výsledku. Funkcia je štrukturálna zložka výrazu z oboru hodnot/spĺňania (viď TZP5) 

→FZP3: Fregeho objekt, ako svoja vlastná konštrukcia (spúšťač Russellovho paradoxu)

Fregeho view B sa vzťahuje aj na matematické objekty:

(41) … The number two there corresponds, in Frege´s theory, a different way of analyzing the name ‘log100’ of that number

, čiže výsledok=číslo ‘2’ obsahuje ‘log100’ (čo je flaw, ak si napíšeme na prázdny papier ‘2’, môžeme iba hádať, či ide o ‘3-1’, or ‘log100’ or odmocnina zo 4, lebo vynechaním výrazu, ktoré nie je jeho redundantným menom strácame akékoľvek štrukturálne informácie.

→→TZP3: objekt/konštrukcia je štrukturálne izomorfná s výrazom 

→FZP4: Fregeho premenné (ako mená medzier znamenajú mená obsahovo prázdneho ‘nič’, čo je nezmysel)

58) Frege, … made no attempts to explain the semantic role of his bound-variable letters (a,b, …, ε, α, … f, g, …). It was precisely because he was unclear on what exactly corresponds to those letters at the level of Objects and Functions that he had to resort to a purely syntactic idiom in dealing with them…

44) But the most awkward consequence of looking at variables as mere gaps is that Functions as such cannot be, strictly speaking, discussed. Although Frege speaks of the expression ‘sinξ’ as a name of a Function, this name does not enable us to say anything about the Function it stands for. We cannot make ‘sinξ’ the subject of a sentence because it contains an empty space and is therefore senseless: ‘only if the place is filled up with a proper name does a complete sense appear.’ But if we fill the place with a proper name and make, say, ‘sin0’ the subject, then the sentence no longer speaks about the Function but rather about its value at 0 (i.e., about 0).

59) The semantic role of variables had not really been understood until the 1930’s when Tarski discovered that variables take values not relative to individual objects but relative to infinite sequences of objects. Tarski, who took the linguistic approach to metamathematics, identified variables with letters (‘x’, ‘y’, etc.) and assumed that it is expressions like ‘cosx’ and ‘cosy’ themselves (rather than something they might represent) that take values. Tarski noted that if an expression like ‘cosx’ took values simply relative to single entities, ‘cosx’ and ‘cosy’ would be semantically indistinguishable: both would take the same values relative to the same entities. But if it is assumed that expressions take values relative to infinite sequences of entities, ‘cosx’ and ‘cosy’ can be set semantically apart (… relative to the same entity (a sequence).

Tichý, predstaviteľ objektového prístupu, očisťuje Fregeho od obratu k jazyku. Problém premenných však vyriešil práve predstaviteľ obratu ku jazyku, Tarski. Paradox? Nie, viď odsek Rozdiel medzi matematickým a epistemologickým vyššie. (Tichý do lingvistického prístupu v metamatematike zaraďuje aj množiny? ako opak objektov. Túto súvislosť treba študovať/objasniť vo Foundations of mathematics (Cantor – autor množín v období začiatku obratu ku jazyku, súčasník Fregeho), Zermelo, Fraenkel, Hilbert, Lesniewski, Quine, atď., napr in http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf)

→→TZP4: premenná je funkcia nadobúdajúca svoje hodnoty z poľa/oboru hodnôt/spĺňania

→→TZP5: spĺňanie (valuation) je pole hodnôt premennej

Druhý pokus o spracovanie FFL 21.07.16 tak, aby to bolo max zrozumiteľné

Základné pojmy Tichého (T) a Fregeho (F)

T1.1 výpočet (konštrukcia) je referencia (význam) výrazu
T1.2 výraz=vzorec,(2*2)-3 obrázok konštrukcie, funkcia
F1.1 ‘(x*x)-3=1’ je zlúčenina zmyslu funkcie-mena ‘(x*x)-3’ (argument x=2) a zmyslu vysledku-mena ‘1’
F1.2  ‘Autor Waverley’  je zlúčenina zmyslu funkcie-mena ‘autor x’ (x = Scott) a zmyslu objektu-mena ‘Waverley’

te(X)ty ku základným pojmom

XF1  Hlavným problémom matematickej teórie Fregeho a Russella boli premenné. Preto ju lingvisticky zjednodušili t.j. nahradili referenciu výrazu – výpočet referenciou výrazu – výsledok. (asociácia argumentu funkcie s jej výsledkom) (F1.1). Tým získali zdanlivý abstrakčný zdvih, čiže komprimáciu informácie. Lebo veď ak výsledok výrazu (2*2)-3, t.j. “1”, je jeho zmyslom, potom je výraz (2*2)-3 redundantným menom výsledku=zmyslu=významu, čiže zbytočnou dekoráciou, ktorú možno Occamovou britvou hospodárnosti odrezať. Čo následne viedlo k presvedčeniu, že matematika je iba súbor výpočtových postupov a stačí už len vypracovať ich epistemologicko-logickú kombinatorickú axiomatiku (Hilbert). A hoci Godel  ukázal, že sa to principiálne nedá, pokračuje sa v tom…

XF2 Systematickou chybou Fregeho teoretizovania bolo, že držal objekty oddelene od ich konštruovania. Jeho zmysel je zlúčenina. Skladá sa zo zmyslov zložiek výrazu.  Ak sa spýtame na F1.1-2 ako sa zlučujú ich zmysly do zlúčeniny, alebo ako držia pokope, máme problém. Lebo z F1.1 nám zostal iba zmysel=výsledok “1”, v ktorom márne hľadáme “2”, alebo “-3”. A pri F1.2 Waltera Scotta skladáme z funkcie a knihy. Vidíme teda, že Fregeho zmysel vedie ku nekorektnému miešaniu nekompatibilných operácií mapovania a zlučovania.

XT1 Tichý vytvoril z pôvodných základov Fregeho-Russella nové pokračovanie. Teoreticky zapracoval pôvodnú referenciu výrazu – výpočet, ktorú nazval konštrukcia. Tak zachoval štruktúrovaný izomorfizmus výrazu a výpočtu.

Príklady straty izomorfizmu

I.1 sneh je biely lebo je taký korešpondenčne Tichý
lebo sme ho tak pomenovali Goodman
I.2 (2*2)-3=1 lebo je to tak korešponenčne Tichý
lebo sa tak rozhodli tvorcovia aritmetiky Súčasní sémantici a matematici

Exkurzy

E1 Parafrázujúc Kvasza, hranica neprebieha po línii realizmus/antirealizmus, ani korešpondentizmus/koherentizmus, ale po línii “z matematického jazyka do prirodzeného” versus “z prirodzeného do matematického”

E2 O konštrukcii píše Peregrin: “konstrukce vyjadřovaná složeným výrazem se skládá z částí odpovídajících částem tohoto výrazu a současně “konstruuje” nějaký výsledek. Proto jsou konstrukce něčím, co je v běžném, množinově-teoretickém rámci obtížně uchopitelné”.

E3 To sa podobá na Tallov procept: An elementary procept is the amalgam of three components: a process which produces a mathematical object, and a symbol which is used to represent either process or object. A procept consists of a collection of elementary procepts which have the same object.

E4 Kvasz (link iba anotácia, in Wittgensteinova filozofia a jazyk matematiky, s 93, Filosofický časopis mimor. cislo 2 (2010/8 – Studie k filosofii Ludwiga Wittgensteina, Praha 2010) ku T1.2 Izomorfickému obrázku konštrukcie – Wittgensteinove odlíšenie hovorenia (explicitnosť) a ukazovania (obrázok/zobrazenie-implicitnosť) mieri priamo k ukazovaniu toho, čo sa nedá vyjadriť a tým posúva hranicu jazyka.

###

### Prvý pokus o spracovanie FFL

Ukazujú nám, že významy nie sú hodnoty, ale vzťahy (pozičnosť, spojitosť, rastúcosť, minimum, atď) – viď sekciu Skvaszovanie Intenzionálneho izomorfizmu nižšie).

Získavame nimi štruktúrovanovanú mapu, koherentné  abstraktné prostredie, ktoré sa premieta do predikcie budúcej možnej, presnejšej korešpondencie s empíriou.

Frege sa teda chybne domnieval, že výrazy sú iba redundantné lingvistické mená výsledkov, ktoré možno vynechávať a dôležitý je iba ich zmysel *1234.

*1 tomuto problému sa venuje konštruktívna didaktika matematiky. Je založená na motivácii utvárať si elegantný, transparentný matematický jazyk, ktorý jedným zápisom vyjadruje postup/PROces aj výsledok/konCEPT (PROCEPT) na každej kognitívnej úrovni (spredmetňovanie_vnímania, symbolizmus, formalizmus).

*2 Frege mal pravdu, keď považoval “zmysel=číselný zápis výsledku” za prvok komprimácie abstrakčnej schémy. Nemal však pravdu, keď procesný zápis výsledku (výraz) považoval za nadbytočný. S výrazom sa mu stratila metóda=význam=konštrukcia, pretože zmizol jeho denotát/referencia. Preto ho hľadal vo výsledku, v denotáte ako deskripcii.

*3 Redukovaná do logiky matematika stráca svoju tvorivú silu, (chýbajú jej kamaráti – experiment, špekulovanie, atď). Zmrazuje sa na netvorivé deduktívne lingvistické hádanie empirického nastávania (matematičštinu). (Podobne ako keď z biologického povlaku na dne mláky zoberieme do laboratória vzorku a zistíme, že iba 5% baktérií rastie aj v izolácii (link strana 83).

*4 Problém si uvedomuje aj Podnieks: “I would try to build a new arithmetics, that would use arithmetical expressions and not numbers as the fundamental notions”.

Skvaszovanie Intenzionálneho izomorfizmu

Domnievam sa, že iba intenzionálny izomorfizmus je prípustným intenzionálnym/empirickým rozšírením extenzionálnej/výrokovej a predikátovej logiky prvého rádu) tak, že sa nevzdáva princípu kompozicionality.

Mierim k tomu, čo píše Cmorej v “Na pomedzí logiky a filozofie (NPLF), s. 172-263, Veda, Bratislava 2001” a v Možných Indivíduách a Posibíliách (MIAP), Filozofia, roč 70, 2015, č.8 (s. 585-600) a č. 10 (s. 800-816)

Integrujem to s tým, čo píše Kvasz  (modrou farbou), čim logiku vraciam do matematického rámca, lebo iba tam získava svoju plnohodnotnú objektivitu.

v http://www.klemens.sav.sk/fiusav/doc/organon/2009/2/146-182.pdf, http://www.klemens.sav.sk/fiusav/doc/organon/2011/3/302-330.pdf http://www.klemens.sav.sk/fiusav/doc/organon/2015/1/109-131.pdf

Prevodový slovník Skvaszovania

Hlavné intuície prevodového slovníka

1. Jazyk je hranica sveta                                                                                    2.Neúplnosť a Neurčitosť sú hranicami jazyka

a. “jazyk z nekonečného množstva rôznych rozkrájaní vyberie jedno, ktoré ontologizuje” = konštruuje nový OBjekt-výRAZ (OBRAZ), ktorým zachytáva jemnejšiu dynamiku svojich komponentov (význam)

b. “krájanie sa deje prostredníctvom určitých inštrumentov“ = je to nová šablóna, získavaná súčinnosťou krajcov

c. „ktoré do procesu krájania skutočnosti vnášaju medze“ = ktoré sú vložené navzájom do nových spoločných regiónov a tvoria tak ich nové distribúcie, ktoré sú s tými predošlými nesúmerateľné

d. „priepasť medzi inštrumentálnou a prirodzenou skúsenosťou” = nesúmerateľnosť neznamená stratu možnosti pohľadu zo spoločných regiónov vyššieho poschodia na spoločné regióny nižšieho poschodia až po rozhranie prirodzenej skúsenosti

e. “antirealizmus” = V súlade s d. sú konvencie intersubjektívneho realizmu izomorfické s realitou (externým, objektívnym realizmom)

f. “ontologický stav inštrumentov” = heterogénna konštrukcia v štádiu rozpracovanosti, neexistuje obecný preklad (neexistuje heterogénny význam)

g. “chápanie bežnej skúsenosti ako nesymbolickej” = rozdiel nespočíva v symboloch, ale inštrumentoch. Zdravý rozum nie je vedecký inštrument. Inštrumentálna prax je technologická/logická, nie lingvistická/zmyslová

h. ” o básnení a histórii, …v prirodzenej skúsenosti sa nestretávame s telesami newtonovskej mechaniky (s jej priestorom, časom, pôsobením). Je to iba filozofické básnenie“ = Pribásnenie kontinuity kognitívnych a lingvistických spôsobilostí a empirickej praxe

i. “nesamozrejmosť vedy” = veda automaticky nevzniká z konania/používania

j. „prečerpávanie realistického obsahu” = z aritmetiky do algebry (štrukturálna príbuznosť/izomorfizmus aritmetiky a reality, algebry a aritmetiky, atď.)

k. “hranice medzi sprostredkovaním a konštitúciou” = násobenie je iba preto jednoduchou operáciou, lebo sme si zvykli na symbolickú reprezentáciu (inštrument/prístroj) arabských čísel.

l. „symbolický realizmus a Kantovo dedičstvo” = Medzi empíriou a racionalitou je subjektívna zmyslovosť. Aj keď subjektívnu zmyslovosť objektivizujeme intersubjektívnymi pojmovými schémami, chýba nám pripojenie ku realite. Dostaneme ho až konštrukciou inštrumentov/ prístrojov, skúmajúcich priamo realitu (napr. kružidlo a pravítko). Čas a priestor nie sú teda vrodené štruktúry našej zmyslovosti, ktoré určujú našu skúsenosť (do ktorej patria všetky pojmy, čiže aj pojmy priestoru a času). Konštruujeme ju izomorfne priamo ku realite. Preto môžeme hovoriť, že inštrumentálny realizmus je vec praxe, čiže je pragmatický.

NPLF s. 247

(Tichého) konštrukcie možno pokladať za akési návody/schémy na “výpočet” (alebo “rolu”) určitej hodnoty…Sú to abstraktné  (symbolické) útvary/nástroje istej štruktúry, ktoré treba odlišovať od ich realizácií – konkrétnych činnosti, v ktorých tieto návody uskutočňujeme (nedajú sa odlíšiť, sú ich logickou a expresívnou jazykovou hranicou, striktným, jednoznačným, konvenčným kultúrnym artefaktom zápisu rozlíšenia novej objektívnej skúsenosti, ktorá nie je daná vopred). 

NPLF s. 173, Nejasný (kontingentný) pojem zmyslu Tichý nahradil exaktne vymedzeným pojmom konštrukcie. Ale pozor, pojem konštrukcie nie je explikátom Fregeho pojmu zmyslu (ako empirickej deskripcie, čiže denotátu ako empirickej referencie). Je omnoho príbuznejší Carnapovmu pojmu intenzionálneho izomorfizmu (a Russellovej teórii typov), (čiže denotátu ako akontextuálnej role, pozície, metódy) *5

*5 Konštrukcia samotná je potenciálnym významom podobne ako v atonálnej hudbe 12 tónová séria je potenciálnou témou.

NPLF s. 246

Tichý (podobne ako Russell) používa termíny “denotát” a “denotovať” v zmysle, že jazykové výrazy denotujú priamo konštrukcie, čiže svoje vlastné významy (role).  Podľa Maternu/Duží sú konštrukcie významy výrazov, ale nie sú ich denotátmi. Tie konštruujú.

Súvisiace terminologické poznámky ku intenzionálnej logike

Intenzia je propozícia, vlastnosť, vzťah, indivíduový koncept, funkcia (a nie denotát, deskripcia).

NPLF s. 174, oznamovacia veta je meno propozície (roly), predikát je meno vlastnosti a vzťahu (vzťahovej vlastnosti roly)

NPLF s. 175, Empirické problémy v intenzionálnej logike sú funkcie, ktoré svetom priraďujú určité objekty ako ich riešenia.

NPLF s. 176, Tichý vychádza z predpokladu, že každú funkciu nad danou epistemickou bázou poznáme, či môžeme poznať a priori (a priori vieme, akú hodnotu priraďuje tomu či onomu objektu), takže ak vieme, ktorá z distribúcií primárnych vlastností a vzťahov je skutočná, vieme tiež určiť, akú hodnotu v tejto distribúcii nadobúda ľubovoľná netriviálna intenzia. Lenže obyčajne nevieme, ktorý svet je skutočný…Pretože netriviálne intenzie majú v niektorých svetoch rôzne hodnoty, ich (hodnôt) identifikácia v skutočnom svete vedie k tomu, že svety, v ktorých má intenzia inú hodnotu ako v skutočnom, prestávajú byť pre nás kognitívne zaujimavé.

NPLF s. 246

Tichého/Russellove používanie termínov “denotát” a “denotovať” v zmysle, že jazykové výrazy denotujú svoje vlastné významy, odmieta napr. P. Materna, podľa ktorého výraz nedenotuje konštrukciu, ale objekt, ktorý konštrukcia konštruuje. Túto Materna/Fregeovskú terminológiu prijala aj M. Duží…

Jazykový výraz/konštrukcia/význam (MIAP)

Výraz/Konštrukcia/Význam sa podobá pôsobnosti, roly šachovej figúrky, nie jej konkrétnemu ťahu. Ich zámenou dochádza k nežiadúcim posunom a rozvíjaniu sporných názorov pri interpretácii objektov. Hoci pri bežnom používaní opisov výrazový referent (význam) povačšine splýva s intencionálnym objektom používateľa opisu, je kriticky dôležité ich dôsledne rozlišovať. A nie vychádzať z intencionálnych objektov (zahrňujúcich všetko, čiže asertíva, komisíva, direktíva, deklaratíva, expresíva), ako Ilokučná logika Searla/Vandervekena)

Resumé pojmov

Význam je šablónou indivídua, ktorá generuje jeho intenziu.

Význam teda nie je jeho kontingentná empirická hodnota ( ako si to mysleli/myslia Frege, Kripke, Searle, Strawson) a Quine má pravdu, keď ho v tomto ponímaní odmieta ako dogmu empirizmu. Význam je abstrakčný zdvih, ktorým si potvrdzujeme, že nová objektívna skúsenosť sa začína zápisom jej rozlíšenia. Jeho striktnosť a jednoznačnosť je daná konvenciou. Preto je principiálne otvorená.  Je to kultúrny artefakt zápisu rozlíšenia novej objektívnej skúsenosti, ktorá nie je daná vopred.

Denotát=referencia na rolu

Intenzia=konštrukcia=metóda=význam

Oznamovacia veta=meno intenzie (nie meno pravdivostnej hodnoty ako u Fregeho)

Predikát=meno vlastnosti/vzťahu (nie jeho množinový/relačný denotát ako u Fregeho)

FFL 1-63

Podrobnejšie som spoznámkoval 1. kapitolu. tak, že je do nej vsunutá aj 2-3. kapitola

Konštrukcie.entity, konštrukcie a funkcie

1.”2*2-3″ je konštrukcia, výraz, realizovaný špecifickými číslami.

//04.01.17

1.”2*2-3″ je výraz

2.v “x*x-3” môže byť okrem “2*2-3” aj “3*3-3” or “4*4-3”, atď.

3.“x” nie je ďalší typ čísla (nešpecifické). Je to medzera pre špecifické číslo.

//

4.Neúplná konštrukcia (funkcia podľa 8.) spôsobuje špecifické vzťahy medzi číslami, v našom výraze pre “x=1” “výsledok -2”, pre “x=2” “výsledok 1”, pre “x=3” výsledok “6”, pre “x=4” výsledok “13” atď.

5.Pretože neúplnými konštrukciami dosahujeme vždy iné výsledky, nemôžeme hovoriť o tom, že sú s nimi totožné.

6.Okrem toho existuje celý rad iných ekvivalentných (nie totožných)konštrukcií, ktoré dávajú rovnaké výsledky, napr. “(x+x^2 )-(3+x)”.

// V 7-8 Tichý ukazuje hlavný rozdiel medzi “asociatívnym” a “izomorfickým” prístupom

7.Súčasná matematika považuje funkciu za asociáciu= zobrazenie=obsah medzi výrazom a výsledkom. Tým pádom funkcia už nie je správnym obsahom – metódou (založenou na štrukturálnej príbuznosti). Je asociáciou=obsahom argumentov a výsledkov v súlade s konvenciami, ktoré majú poskytovať väčšiu garanciu, ako štrukturálna príbuznosť medzi konštrukciou a výsledkom (čo Tichý problematizuje *2 – myslím, že nie celkom adekvátne, lebo axiomatizmus=konvencie sú druhým okrajom reality, ktorej striktnosť ako koherencia voči celej axiomatickej mape je silnejšia ako izomorfizmus).

*2 konvencie sú na 0-tom poschodí odvodené od empirickej skúsenosti, čiže je v nich obsiahnutý vzťah s vonkajšou realitou. V tomto zmysle chápanie funkcie ako správnej metódy/dedukcie sedí a nie je potrebné axiomatizmus oddeľovať od intuície. Sú skôr v koevolučnom vzťahu a to aj v prípade, keď vyberieme podmnožinu vlastností a z nej postupujeme deduktívne kontraintuitívne.

Konštrukcie.dve chápania aritmetiky=významu

chápanie B (obsahové)

7.1  “(2*2)-3” je iba meno čísla 1 (1 je referentom=obsahom mena=významom “(2*2)-3”)

7.2 “(x*x)-3” je iba neúplné meno čísla x (x je neúplným referentom/obsahom mena=významom “(x*x)-3”.

7.3  “x” je iba syntaktická medzera, ktorá nič nepomenováva

7.4  neexistuje štrukturálna príbuznosť medzi výrazmi a výsledkami (nie je rozdiel medzi “(2*2)-3”, “log10”, “5/5”, “-2+3”, sú to mená čísla 1 – sú v ňom obsiahnuté ako jeho konštituenty/zložky – “1” je ich obsahom, významom) *3

*3 nerozlišovanie ekvivalencie a totožnosti, (príklad: 3/6 je ekvivalentné s 4/8. Ale ich zápis v tvare racionálneho čísla 0.5 je totožný).

7.5 sneh je biely, “biely” nie je atribút, je to meno “snehu” (Goodman). (príklady: “Biela” je zložkou=je obsiahnutá v “snehu”; argument  “Švédsko” funkcie “hlavné mesto (x)” je zložkou jej hodnoty=je obsiahnuté v “Štokholm”)

chápanie A – (izomorfické)

8.Matematika 18. stor. považovala za funkciu celý výraz, obsahujúci konštanty a premenné (“x”). Konštrukcie fixovali štrukturálnu príbuznosť (izomorfizmus), boli diagramom empírie, podobne ako sú ním aj notový zápis a zvuková štruktúra v hudbe, alebo plán mesta.

8.1 “(2*2)-3” je vyjadrenie konštrukcie

8.2 “(x*x)-3” je úplné vyjadrenie neúplnej konštrukcie

8.3  “x” nie je syntaktická medzera, je to vyjadrenie medzery v konštrukcii

8.4 existuje štrukturálna príbuznosť medzi konštrukciou=výrazom a výsledkom, (je rozdiel medzi “(2*2)-3”, “log10”, “5/5”, “-2+3”, sú to vyjadrenia výrazov, nie sú to mená čísla 1 – nie sú v ňom obsiahnuté ako jeho konštituenty/zložky=číslo 1 ich neobsahuje)

8.5 sneh je biely, “biely” je vyjadrenie atribútu snehu. ( nie je zložkou “snehu”, ale jeho vlastnosťou=sneh ho neobsahuje; argument  “Švédsko” funkcie “hlavné mesto (x) nie je zložkou jej hodnoty “Štokholm”=neobsahuje ho, je argumentom funkcie “hlavné mesto (x)”)

***

Poznámka:

Extenzionálna/Denotacna logika je limitovaná tým, čo výrazy denotujú. Čiže je to doslovná logika, v ktorej denotát splýva s významom. To vedie v prirodzenom jazyku ku absurdnostiam

Prečo?
Pretože okrem vlastného mena “Obama” môže byť denotačným výrazom/konštrukciou indivídua aj deskripcia “TenKtoByvaVBielomDome”
Ak by vyznamom bol denotat, tak “Obama” aj “TenKtoByvaVBielomDome” by mali spoločný význam “Obama”. Mohli by sme potom hovoriť, že “TenKtoByvaVBielomDome” má husté vlasy, je afroameričan, je moslim, atď.

V tomto sa odlišuje matematický (ktorý má úplne jednoznačné denotáty=extenzie) od prirodzeného jazyka. Preto v matematike môžeme hovoriť o tom, že významom je samotný výraz=konštrukcia (Tichého
ponímanie, ku ktoremu sa prikláňam). Hoci aj tu napr. v TIL panuje rozdelenie, lebo Materna a Duží sa domnievajú, podobne ako Frege, že výraz=konštrukcia význam iba konštruuje, ale sama ním nie je.
(význam je zmyslom=obsahom=intenziou konštrukcie).
To však vedie pre zmenu ku absurdnostiam v matematickom jazyku.

Prečo?
Lebo to potom znamená, že “5+4”, “3 na druhú”, “druhá odmocnina 81” sú iba bezvýznamné konštrukcie, ktoré sú obsiahnuté v ich výsledku “9”, ktorý je ich obsahom=významom. Ak sa teda snažíme priamo uchopovať významy=obsahy=zmysly=intenzie=výsledky, vešiame ich na metafyziku kontextuality.

Riešením je postupovať opačne: vychádzať na všetkých 3 úrovniach: empirickej, symbolickej a axiomatickej z výrazu=konštrukcie,
ktorý fixuje postup aj výsledok.

Reklamy

Jedna myšlienka na “The foundations of Frege´s logic”

Ak ťa oslovuje konzistencia, spoluutváraj túto stránku

Zadajte svoje údaje, alebo kliknite na ikonu pre prihlásenie:

WordPress.com Logo

Na komentovanie používate váš WordPress.com účet. Odhlásiť sa / Zmeniť )

Twitter picture

Na komentovanie používate váš Twitter účet. Odhlásiť sa / Zmeniť )

Facebook photo

Na komentovanie používate váš Facebook účet. Odhlásiť sa / Zmeniť )

Google+ photo

Na komentovanie používate váš Google+ účet. Odhlásiť sa / Zmeniť )

Connecting to %s