Diferenciálna geometria a Lieove grupy ako konštruktivistická hádanka

VÝHODA 2D POJMOV AKO ATLASOV/NEVÝHODA 3D POJMOV AKO CELISTVÝCH OBRAZOV

Problémom pojmov ako obrazov reálnych objektov je ich nesúmerateľnosť. Reálne objekty sú 3D (čiže napr. vzdialenosti medzi nimi sú oblúky na sfére) a pojmy sú 2D (čiže sú rovné čiary). Čím väčší detail, tým väčšia izomernosť, izotropia a izomorfizmus medzi oblúkmi a rovnými čiarami. Preto pojem ako atlas fragmentárnych máp, napr. 4 konzistentných fragmentov v rôznej mierke (pologuľa Zeme, krajina, mesto, ulica) dáva jednoznačné súradnice mojej momentálnej pozície a pojem sa zmestí do 2D súboru 3D Smartphonu. Naproti tomu jeden celistvý obraz, glóbus, ktorý zobrazuje celú Zem, ich nedáva… (resp. začne ich dávať až keď má veľkosť celej Zeme, ale taký 3D pojem sa nezmestí do 3D Smartphonu).

Detaily: Fecko

s. 22

INTUÍCIA VARIETY

Na mapu (napr. turistickú) sa možno pozerať ako na zobrazenie

ϕ:ZK –> KP,

kde ZK je zobrazovaná krajina a KP je kus papiera. Ak je na tomto papieri navyše súradnicová sieť (ak ide o štvorčekový papier na piškvorky), dostávame ďalšie zobrazenie

χ:KP –> R^2[x^1, x^2]

a ich zložením

ϕ:ZK –> R^2, ϕ ≡ χ ◦ ϕ

Pre dobrú mapu je ϕ bijekcia a umožňuje každému bodu v ZK priradiť (vzájomne jednoznačne) dvojicu čísel – jeho súradnice

Ak chceme zobraziť väčšie územie, osvedčilo sa používanie atlasu, čo je sústava viacerých máp. Dobrý atlas musí byť konzistentný na prekryvoch: ak je nejaká oblasť súčasne na dvoch (alebo viacerých mapách (zvyčajne na okrajoch), informácie vyčítané z týchto dvoch máp si nesmú protirečiť.

Keď zväčšujeme viac a viac zobrazované územia (okres –> štát –> svetadiel …), zaregistrujeme najprv nepríjemné metrické vlastnosti zobrazení – svetadiely sú vzhľadom na ich tvar na glóbuse akési zdeformované a intuitívny odhad vzdialeností je nespoľahlivý. To preto, lebo ϕ nie je izometria a dá sa ukázať, že takáto izometria (sféry na papier) ani neexistuje. Topologicky je však stále všetko v poriadku – aj keď ZK je celá Amerika, ϕ je stále homeomorfizmus (ten nemusí zachovávať vzdialenosti). To sa však náhle (skokom) pokazí, keď chceme zobraziť na jednej mape celú zemeguľu. Dá sa dokázať, že také (bijektívne, spojité) zobrazenie neexistuje – použitie viacerých máp ≡ atlasu je nevyhnutné.